磁场拓扑理论简介

源自于杨凯博士论文<太阳爆发事件和日冕加热中磁拓扑的研究>

第二章 磁场拓扑理论

2.1 磁场连接性

为了研究磁场的连接性,首先要引入磁力线的概念,磁力线是一条空间曲线,该曲线上的每一点的切线都与磁场矢量平行,当磁场不为零时,磁力线可由

如下方程来定义并计算:

dr/ds=B(r(s))/|B(r(s))|

其中,s为曲线的长度参数.当然也可以选择单位长度的质量作为曲线参数,µ=∫ρ(s)ds,则磁力线方程变为:

dr/dµ=B(r(µ))/|ρ(r(µ))B(r(s))|

其中ρ(µ)为等离子体密度.这种磁力线的描述在磁场冻结效应的研究中很有用处.

由于磁力线是一条空间曲线,与之相关的磁流管概念可定义为:穿过一个有限的小界面的所有磁力线组成的管状结构.并且要求穿过该有限小截面的所有磁力线在远处仍然能保持足够的靠近,即,磁流管在任意位置的截面都是有限小量.磁流管所包含的磁通量为:

Φtube=∫SB⋅ds

在日冕中欧姆定律可以写为:

E=-v/c×B+c/(4πσ)∇×B

其中,电导率σ=me/πe2B/me)3/2T3/2 ≈107T3/2 s-1,在日冕中T≈106 K,则σ≈1016 s-1.磁感应方程可以写成:

其中,η=c2/(4πσ),从而η≈0.94×104(T/106 K)-3/2cm-2s-1.可见磁耗散系数η随着温度升高而下降.比较磁感应方程的两项,

其中, L和v分别为所研究的系统的典型尺度和典型速度,Rm为磁雷诺系数.在日冕中的典型结构中,温度T~106 K,尺度L~1 Mm,速度v~1 km s-1,则Rm~109 .这说明,在日冕中磁场演化的主要原因是流体的运动,从而磁感应方程可写为:

 

蓝色和黄色线条分别代表磁力线和流线.(a)非理想磁流体的演化rμtr.(b)理想磁流体的演化rμt=r.灰色的节点代表等离子体元的位置.图片来自于Longcope(2005).

上述方程所描述的理想磁流体具有磁场与流场冻结的效应.如上图所示,在零时刻,磁力线穿过r0和rμ两点,当等离子体与磁场在流场的作用下,演化到t时刻,原来位置的等离子体元分别运动到rt和rμt两点.在磁力线冻结的情况下,此两点仍然被同一磁力线连接.即流场诱导的时间演化与磁场诱导的空间映射是相互对易的,MB(Mv(r0))=Mv(MB(r0)),其中MB(⋅)和MB(⋅)分别为磁场和流场诱导的映射.除了磁力线冻结在流体上,冻结效应还表现在磁通量的冻结上,该效应可由流体力学中的Kelvin定理给出,该定理最早由Lord Kelvin在研究流体涡度时提出的.然而,可以给出下面的更一般化的结论,当矢量Q按照如下方程进行时间演化,

其中,v为流场.穿过某一流面元的矢量场Q的通量在随着流体元的运动过程中保持不变,即

显而易见,将矢量场Q替换成磁场,该结论得意成立.即,穿越某一流体元的磁通量在理想磁流体演化的过程中保持不变.下图展示了磁场演化过程中的磁通量冻结示意图.

 

磁通量与流场冻结示意图,其中,灰色区域为两个时刻的流体面元,蓝色箭头代表两个时刻的磁场,黄色箭头代表流场.

当考虑离子和电子在磁场中的运动时,日冕中的电子回旋半径的典型值0.01-10 cm,而质子在日冕中的典型回旋半径为0.5-500 cm.相比于我们研究的尺度而言是十分的微小的,从而我们可以忽略粒子环绕磁力线的运动,认为等离子体中带电粒子的运动是沿着磁力线的.从而沿着磁力线方向的热传导比垂直方向更加有效,我们可以认为每一条磁流管都是一个独立的热力学系统,那么该系统的形状就是一条”磁力线”.所以在日冕的极紫外观测中我们看到是一条条磁流管,或者在我们的语境下,也可以说我们看到的冕环就是一条条的”磁力线”.上述磁冻结效应也说明,在理想磁流体下,磁场与日冕等离子体的运动是耦合在一起的.尽管磁力线本身是一个数学概念,但在我们所研究的日冕大尺度磁场的情况下可以认为它在物理上就是真实的.磁场拓扑的研究就是指对磁力线所诱导出的映射的连续性的研究.在理想磁流体下,磁力线冻结在等离子体上,只要等离子体的运动是连续的,则磁力线诱导映射的连续性就不会被破坏.然而,在日冕中很多非理想的动力学过程往往发生在不同拓扑系统的交界处,从而产生很多加热,爆发现象.这些结构及特征将在下面几节中陆续介绍.